Analiza Matematyczna i Algebra Liniowa

Mateusz Łuska

ANALIZA MATEMATYCZNA

I

ALGEBRA LINIOWA

  Analiza matematyczna – zespół teorii obejmujący wiele ważnych działów matematyki.
  Początkowo analiza matematyczna obejmowała jedynie to, co dzisiaj nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona z początku XVII wieku.
  Z czasem rachunek różniczkowy i całkowy, ograniczający się wcześniej do kartezjańskich przestrzeni rzeczywistych, objął swoim zakresem inne przestrzenie: przestrzenie zespolone (teoria funkcji holomorficznych), przestrzenie Banacha i   Hilberta (wraz z odpowiadającymi im teoriami) oraz bardziej zaawansowane twory geometryczne (na przykład rozmaitości różniczkowalne).
Zaawansowanej analizy matematycznej nie można obecnie uprawiać bez znajomości algebry, topologii (w tym topologii algebraicznej) czy geometrii różniczkowej.

CAŁKI

                                                                

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

                                               CAŁKOWANIE FUNKCJI

Liczenie całki z f(x), to szukanie takiej funkcji g(x), gdzie jej pochodna jest równa f(x).

W skrócie:

                                               f(x)=g(x)          ponieważ       g’(x)=f(x)

            Przypuśćmy, że mamy funkcję y=f(x) i chcemy obliczyć pole P zawarte pomiędzy krzywą odpowiadającą tej funkcji i osią x, w zakresie od x₁ do x₂.
            Z pewnym przybliżeniem możemy to zrobić w taki w sposób: dzielimy zakres <x₁, x₂> na odcinki o jakiejś szerokości Δx. Po wyznaczeniu wartości funkcji f(x) w tych punktach podziału, obliczamy pola prostokątów (pokazanych na rysunku) i ich sumę traktujemy jako przybliżoną, poszukiwaną przez nas wielkość:

P ≈ f(x₁) ^. Δx + f(x₁ + Δx) ^. Δx + f(x₁ + 2 ^. Δx) ^. Δx + ...
= [ f(x₁) + f(x₁ + Δx) + f(x₁ + 2^.Δx) + ... ] ^. Δx

Oznaczając przez n ilość prostokątów, możemy to zapisać:

P ≈	k=n-1	f(x1 + k . Δx) . Δx
	Σ
	k=0

Zmniejszając wielkość odcinków Δx (a tym samym zwiększając ich ilość) będziemy otrzymywać coraz dokładniejsze wartości P. Granicznym wypadkiem, gdy Δx → 0 (natomiast n → ∞ ), jest dokładna, szukana przez nas wartość P. Taki "zerowy" przyrost zmiennej x oznaczamy, zamiast Δx, przez różniczkę dx, a znak sumy Σ zastępujemy znakiem całki ∫. Zapisujemy więc:

P =	X2	f(x) . dx
	∫
	X1

LINKI:

Obliczanie całki oznaczonej

Obliczanie całki nieoznaczonej

Niezbędne wzory

Pochodna funkcji

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu x₀. Oznaczmy symbolem Δx przyrost zmiennej niezależnej x, gdzie x∈U(x₀, δ) i x ≠ x₀, symbolem Δy - przyrost wartości funkcji, jaki odpowiada przyrostowi Δx.
Mamy więc Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀).
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x₀ dla przyrostu Δx zmiennej x nazywamy stosunek     $\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$

Granicę właściwą ilorazu różnicowego przy Δx→0 nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy symbolicznie f '(x₀)
Mamy więc f '(x₀) = ${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}$${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}$
Geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy jest istnienie prostej stycznej w punkcie A = (x₀, f(x₀)) do wykresu funkcji y = f(x)
Funkcję f nazywamy różniczkowalną w przedziale X wtedy, gdy ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.
Różnicą funkcji f w punkcie x₀ dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f '(x₀)Δx, przyrost Δx nazywamy różniczką zmiennej niezależnej x.
Granicę właściwą ${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}}$${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}}$ nazywamy pochodną lewostronną funkcji f w punkcie x₀,
Granicę właściwą ${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}}$${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}}$ nazywamy pochodną prawostronną funkcji f w punkcie x₀.

Analogicznie do granic funkcji można też mówić o pochodnych niewłaściwych (nieskończonych) funkcji f w punkcie x₀, jak również o pochodnych niewłaściwych jednostronnych w punkcie x₀.
Jeżeli granica ${\displaystyle \underset{\Delta x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\infty }$${\displaystyle \underset{\Delta x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\infty }$ (-∞), to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ pochodną niewłaściwą.
Zapisujemy wówczas f '(x₀) = ∞ lub f '(x₀) = -∞.
Geometrycznie oznacza to, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x₀ jest prostopadła do osi OX.
Jeżeli funkcja f ma pochodną f ' w przedziale X i funkcja g(x) = f '(x) ma w punkcie x₀∈X pochodną, to pochodną tę nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji f w punkcie x₀ i symbolicznie oznaczamy f ''(x₀).
Podobnie określa się pochodne rzędu trzeciego, czwartego itd.

http://matrix.umcs.lublin.pl/~lbocian/Studia/Pracownia_magisterska_II/Damian_Lewkowicz/limits.pdfhttp://matrix.umcs.lublin.pl/~lbocian/Studia/Pracownia_magisterska_II/Damian_Lewkowicz/limits.pdf

UTH Radom


Analiza matematyczna - zespół teorii obejmujący wiele ważnych działów matematyki.

Początkowo analiza matematyczna obejmowała jedynie to, co dzisiaj nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona z początku XVII wieku.

Z czasem rachunek różniczkowy i całkowy, ograniczający się wcześniej do kartezjańskich przestrzeni rzeczywistych, objął swoim zakresem inne przestrzenie: przestrzenie zespolone (teoria funkcji holomorficznych), przestrzenie Banacha i Hilberta (wraz z odpowiadającymi im teoriami) oraz bardziej zaawansowane twory geometryczne (na przykład rozmaitości różniczkowalne).

Zaawansowanej analizy matematycznej nie można obecnie uprawiać bez znajomości algebry, topologii (w tym topologii algebraicznej) czy geometrii różniczkowej.




Algebra liniowa – dział algebry zajmujący się badaniem przestrzeni liniowych oraz ich homomorfizmów, tj. przekształceń liniowych. Algebra liniowa skupia się głównie na badaniu przestrzeni skończenie wymiarowych nad ciałami lub ogólniej, pierścieniami. Do algebry liniowej można zaliczyć także teorię form kwadratowych, macierzy, przekształceń półtora- i wieloliniowych. Dziedzina ta wyrosła w sposób naturalny na gruncie badania układów równań liniowych.

Algebra liniowa ma liczne zastosowania zarówno w matematyce (np. równania różniczkowe, programowanie liniowe), jak i poza nią, np. w ekonomii metody przez nią wypracowane są stosowane do skutecznego modelowania i rozwiązywania problemów związanych z alokacją zasobów.

Ihor Ohirko urodził się 14 kwietnia 1952 roku w Jeziernej (obwód tarnopolski) na Ukrainie. Jego rodzice, Wasyl i Teodora, byli nauczycielami. Do szkoły uczęszczał we wsi Pidbirci, następnie do szkoły średniej nr 11 we Lwowie, którą ukończył w 1969 roku. Studiował na kierunku techniczno-matematycznym na Uniwersytecie im. Iwana Franka we Lwowie. W 1974 roku, po ukończeniu studiów, został skierowany do pracy w charakterze pracownika naukowego do Instytutu Matematyki we Lwowie, gdzie prowadził badania w zakresie metod matematycznych teorii pola. Jednocześnie wykładał informatykę na Uniwersytecie Lwowskim.

AMiAL

 math.uni.lodz.pl/~andfab/cala_ksiazka.pdf

MATHEMATICA W ZADANIACH ANALIZY MATEMATYCZNEJ ...