Całka – ogólne określenie wielu
różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule
rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego
słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną
lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).
CAŁKOWANIE FUNKCJI
Liczenie całki z f(x), to szukanie takiej funkcji g(x), gdzie jej pochodna jest równa f(x).
W skrócie:
f(x)=g(x) ponieważ g’(x)=f(x)
Przypuśćmy,
że mamy funkcję y=f(x) i
chcemy obliczyć pole P zawarte
pomiędzy krzywą odpowiadającą tej funkcji i osią x, w zakresie od x1 do x2.
Z pewnym przybliżeniem możemy to zrobić w taki w sposób: dzielimy zakres <x1, x2> na odcinki o jakiejś szerokości Δx. Po wyznaczeniu wartości funkcji f(x) w tych punktach podziału, obliczamy pola prostokątów (pokazanych na rysunku) i ich sumę traktujemy jako przybliżoną, poszukiwaną przez nas wielkość:
Z pewnym przybliżeniem możemy to zrobić w taki w sposób: dzielimy zakres <x1, x2> na odcinki o jakiejś szerokości Δx. Po wyznaczeniu wartości funkcji f(x) w tych punktach podziału, obliczamy pola prostokątów (pokazanych na rysunku) i ich sumę traktujemy jako przybliżoną, poszukiwaną przez nas wielkość:
P ≈ f(x1) . Δx
+ f(x1 + Δx) . Δx + f(x1 +
2 . Δx) . Δx + ...
= [ f(x1) + f(x1 + Δx) + f(x1 + 2.Δx) + ... ] . Δx
= [ f(x1) + f(x1 + Δx) + f(x1 + 2.Δx) + ... ] . Δx
Oznaczając przez n ilość prostokątów,
możemy to zapisać:
P ≈
|
k=n-1
|
f(x1 + k . Δx) . Δx
|
Σ
|
||
k=0
|
Zmniejszając
wielkość odcinków Δx (a
tym samym zwiększając ich ilość) będziemy otrzymywać coraz dokładniejsze
wartości P. Granicznym
wypadkiem, gdy Δx → 0 (natomiast n → ∞ ), jest dokładna,
szukana przez nas wartość P. Taki "zerowy" przyrost
zmiennej x oznaczamy, zamiast Δx, przez różniczkę dx, a znak sumy Σ zastępujemy znakiem całki ∫.
Zapisujemy więc:
P =
|
X2
|
f(x) . dx
|
∫
|
||
X1
|
LINKI:
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz